哈勃常数

(哈勃发现宇宙膨胀已经有了近百年的历史,哈勃常数对宇宙学的重要性相信大家都应该有所耳闻。这里介绍的这篇综述详尽地展现了哈勃常数的测量方法,问题,现状和前景,以及精确测量哈勃常数的重要意义。从哈勃第一次发现星系大部分都在红移,到后来的a factor of two,到最近的3%误差的测定,再到未来可能的1%精度的测量,这条曲折的道路是由一代代天文学家的努力铺就的,将最终让我们有能力洞悉宇宙的全貌。)

文章:The Hubble Constant

介绍

众所周知,上世纪初哈勃在测量附近的星系距离以及其径向速度后发现大部分星系都有远离银河系而去的趋势,而且距离越大,速度越快,定量来看就是cz=H_0d,而这个H_0就是所谓的哈勃常数,简单的计算就会得到哈勃常数的量纲是kms^{-1}Mpc^{-1}。这一发现深刻地改变了人类对宇宙的认识,宇宙不再是静止的,而是在膨胀之中!

接下来近一个世纪的观测注定要超出先辈的想象,暗物质和暗能量的发现,将宇宙中重子物质的比重下降到只有4%。宇宙将来是膨胀还是收缩,加速膨胀还是减速膨胀,都由于人类对这两个“暗”知之甚少而变得扑朔迷离起来。还好只要确认了各向同性和大尺度上均匀这两个宇宙学原理,宇宙学模型就可以证明满足所谓的Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker(FLRW)度规,于是宇宙膨胀的历史就可以通过宇宙中各种成分的所占比重定量地求解出来。在平坦宇宙的假设下,具体的表达式如下,

(1)   \begin{equation*} H^2(z)/H_0^2=\Omega_{matter}(1+z)^3+\Omega_{DE}(1+z)^{3(1+w)} \end{equation*}

等式左边是红移z处的哈勃参数比上现在的哈勃参数,即哈勃常数之比。右边第一项是所有物质,包括暗物质的贡献,第二项则是暗能量的贡献,其中指数上的w称为暗能量的状态方程,如果w=-1的话,就意味着暗能量就是爱因斯坦当年舍弃的宇宙学常数。可以看到,宇宙的将来的命运完全取决于这几个参数的选取,如果要确定宇宙未来的演化,就一定要对这几个参数进行比较好的测量。

然而,尽管哈勃常数的发现已经有了近百年的历史,其精确取值一直在困扰着天文学家,在很长的一段时间内甚至有一个“a factor of two”的差别,各种不同办法得到的哈勃常数的取值分布在50-100kms^{-1}Mpc^{-1},真是一场宇宙学意义上“五十步笑百步”!造成如此悬殊的测量结果的原因,其实很简单,就是对天体距离的测定的巨大误差。测量哈勃常数的任务,某种程 度上变成了如何更精确测量天体的距离。因此,如何对远处的天体进行更高精度的测距一直萦绕 在天文学家的心头。事实上,在上世纪80年代早期,建造哈勃空间望远镜的一个重要动机就是要 确定哈勃常数的精确值,当时目标的误差是10%。

那么,如何测定天体的距离?在这个问题上,天文学家可谓八仙过海各显神通,相出了各种稀奇古怪的方法。而本文主要介绍了六种比较重要的方法。

距离的测定

在测定河外天体距离的时候,看到的是该天体在宇宙年龄小于当前年龄的时候的情景。由于宇宙的膨胀,对河外天体测距,一般指光度距离(Luminosity distance)或角直径距离(angular diameter distance)。光度距离d_L=\sqrt{L/ 4\pi F}其中F是观测到的流量,而L是天体在相对其静止的参考系中的内秉光度。而角直径距离d_A=D / \theta则更好理解了,就是天体的实际大小比上其在天空的张角。这两个距离之间有一个简单的转换关系d_L=(1+z)^2d_A。而天体测距经常提到的另一个概念距离模数和光度距离之间有以下关系\mu=m-M=5log(d_L)-5。其中m是视星等,而M是绝对星等。

就原理而言,哈勃常数的测量是很直白的,但是在实际测量时,会面临非常繁琐而复杂的问题。比如,应该挑选什么天体作为测量对象?首先,这样的天体要足够远,这样才能将天体的随机运动从宇宙膨胀中剔除;同时,又应该足够近,这样可以对其绝对距离进行比较好的定标。这样的天体最好足够多,这样能减少样本太小带来的统计误差。最好人们对其物理机制有比较好的了解,这样可以达到比较高的精度。文中主要讨论的方法包括1.造父变星2.红巨星支顶(TRGB)方法3.脉泽星系。对于更远的星系,还有4.TF关系5.表面光度起伏和6.Ia型超新星。脉泽星系的方法实际上只对两个星系有观测,但却是一个非常有潜力的观测手段,因此在此予以介绍。实际上每种方法都有自己的适用范围,但各个不同的距离尺度下的测距方法连接起来,便构成了宇宙的距离阶梯,成了天文学家手里的量天尺。

在介绍具体的方法之前,读者应该始终意识到,对恒星级天体的观测一直逃不开星际消光的魔咒,不仅包括银河系内的消光,也包括宿主星系的消光。现在通常使用的消光模型都只是近似,因此不可避免带来误差。值得庆幸的是方法1-3面临的宿主星系消光并不会太离谱,引起的误差还是可以接受的。

造父变星

造父变星周光关系在100年前就提出来,直到如今都是一个非常可靠的测距方法。1908年Leavitt首先提出造父变星的绝对星等和其脉动周期之间有非常好的相关性,总结出来就是M_V=\alpha log P+\beta (B-V)_0+\gamma。就物理图像而言,造父变星就像一个活塞,内部释放能量,于是活塞向外膨胀,膨胀导致变冷,于是又收缩,其中氦电离层就扮演了阀门的角色。电离层一开始不透明,会吸收能量,于是内部压力增加导致外层被推着膨胀,这个过程中氦电离层对外做工而变冷,于是双电离的氦复合成中性,这一层重新变得透明,这就导致了失去了膨胀的动力,在引力的作用下开始向内收缩,并循环往复。

当然,以上只是一个非常简单的讨论,有一些造父变星并不是按照这个机制进行的,并且还有一些额外的因素会影响周光关系,最显而易见的就是金属丰度了。恒星的化学成分会对其总体解构产生影响,人们自然会联想金属丰度会影响周光关系。然而,不同的研究会给出不同的结论,而他们甚至会互相矛盾。这就造成了对哈勃常数的测量精度受制于造父变星金属丰度的尴尬局面。

一般测量的造父变星宿主星系,其金属丰度大致与银河系相当,然而对河内造父变星的定标比较可靠的方法只有三角视差法,然而最近的造父变星离我们都相距250pc以外,即使是Hipparchos卫星给出的测量结果信噪比也很低。07年HST测量了10颗河内造父变星,确定了周光关系的零点。但毕竟样本太小,这个零点的误差也有3%,或者说是0.06mag,同时斜率误差太大,因此周光关系的斜率一般都是通过大麦哲伦云中的造父变星测得的。自然,这样的测量结果依赖于大麦云距离的精确度,一般来说这里又有0.06mag的误差。同时,在金属丰度上,大麦云和银河系,或者说我们感兴趣的河外星系又有差别,这样的一个改正又会引入0.07mag的误差。

红巨星支顶

粗略了解过恒星演化的话都知道恒星离开主序后会进入红巨星支,之后演化到后期的时候会发生氦闪,在短暂的闪耀后立即归于死寂,变成一颗低光度的恒星。从红巨星到水平支的演变时标非常段,大概只有百万年的量级,因此在观测上来看,红巨星支顶可以看作是一个不连续带,成为恒星演化的“相变”过程。这一方法由人们已经熟知的物理过程掌控,并且不受制于化学成分。通过测量星系的这个不连续带的视星等,与理论的绝对星等比较即可得到星系的距离。经验上看,I波段的热改正最小,所以近年的测量都是在这个波段上进行的。

通过14个星系的测量,使用红巨星支顶方法测量的哈勃常数H_0=73\pm5kms^{-1}Mpc^{-1},这里的误差只包含了统计误差。

FIG1.使用TRGB方法测量星系距离的一个例子。左边是经过金属丰度改正的颜色-星等图,右边是边缘检测 的结果。峰值即代表TRGB的星等,宽度对应了检测的随机误差。

脉泽星系

水巨脉泽也是一个新兴的测距工具。通过对AGN中大质量黑洞吸积盘内的22.2GHz水脉泽源进行观测,可以精确测量宿主星系的距离。简单来说,就是通过对视向的观测测量开普勒盘的旋转曲线,通过对垂直方向的观测测量角速度,通过对比即可求得距离。这种方法需要观测edge on的吸积盘,并且要求X射线源或激波来激发脉泽辐射。同时还需要VLBI对脉泽的相对位置进行精确测量得到其角速度。看起来难度很高的测量,却可以得到很高精度的结果。在开普勒盘的假设下,对NGC4258的观测得到的误差只有3%!

到目前为止,在搜寻的2000个星系中只发现了100个巨脉泽,(5%的探测率其实可以用脉泽辐射很高的准直性可以解释),而且要使用这种方法测距,要求吸积盘是一个比较好的开普勒盘,这些都是比较挑剔的条件。因此至少在近期看来,要找到足够大样本的脉泽星系不太现实,用脉泽星系方法画哈勃图看起来有点遥遥无期。但是它提供了一个非常独立的校验手段,可以用来校正造父变星周光关系和Ia型超新星。事实上人们已经在用NGC4258作为校正工具了,效果也非常的好。

表面光度起伏

表面光度起伏(Surface Brightness Fluctuation SBF)可以用来测量椭圆星系和早型漩涡星系。其适用范围和红巨星支顶法有重合,并且两种方法都会用到红巨星光度函数来估计距离。SBF方法实际测量的是探测器光子计数的相元之间的方差,对一个确定的表面亮度分布,特定大小的相元之间的方差是距离的函数。随着距离增加,一个相元内分立源的总数在增加,方差就会随之减小。相较红巨星支顶方法只测量最亮的红巨星,SBF使用红巨星的光度加权积分数目分布,并且假设平均星等是一个确定的值。

除了要去除前景星,尘埃遮挡和球状星团以外,没错,又是金属丰度。那么这个方法的精度有多高呢?H_0=72\pm4(random)\pm11(systematic)kms^{-1}Mpc^{-1},看起来还不赖吧。

Tully-Fisher关系

Tully-Fisher关系描述了漩涡星系的总光度(face on改正并计入消光后)和星系最高旋转速度(edge on改正后)的强相关关系,弥散度为0.3-0.4mag。这一关系可以通过位力定理和统一质光比的假设下定性推导,然而要了解详细的物理图像和暗物质的角色依然很困难。不过,自从这个关系提出以来,就一直是广为接受的测距利器。特别是在中红外波段,即使不考虑倾角修正,TF关系的弥散度依然非常低。因此在测定哈勃图和大尺度结构时,中红外的TF关系是十分有力的武器。

FIG2.不同波段下的TF关系

 

Ia型超新星

使用超新星来测定距离的思路很早以前就被人提出,但是知道1993年Phillips提出了Ia型超新星极大光度和变暗速率的关系后,这个关系才开始被标准化。现在,在哈勃图上最远的点通常都是由Ia型超新星给出的。经过改正后的Ia型超新星距离的误差为\pm7-10\%相对其他方法来说已经很小了。精度的进一步提高有赖于用造父变星近处定标。

观测上,可以确定Ia型超新星是由于恒星的热核爆发引起的,并且其前身星不是大质量恒星。爆发的细节现在还没有研究透彻,但一般都认为其前身星是白矮星-主序星或者双白矮星。不管是白矮星吸积主序伴星也好,双白矮星并合也罢,一旦超过钱德拉赛卡极限,不可避免就会发生强烈的爆发,实际上,两种模型都有各自的缺陷,并且都不能很好地解释Phillips关系。然而这不影响其作为测距工具的重要地位。

近年来,使用Ia型超新星测量哈勃常数已经给出了精度最高的结果。在文章写作时,Riess等人通过NGC4258的定标得到的结果是H_0=74.2\pm3.6kms^{-1}Mpc^{-1},在本文发表后,今年年初这批同班人马再次缩小了误差,得到了73.8\pm2.4kms^{-1}Mpc^{-1}的结果,惊奇吧!

HST Key Project

下面来说说哈勃重点计划。这个计划的初衷是通过观测包含造父变星的18个星系来将哈勃常数确定到10%的精度内。通过对这18的星系的测距,可以对其他不同的关系进行定标,包括TF关系,Ia型超新星Phillips关系,椭圆星系D_n-\simga关系,SBF方法,以及II型超新星。通过这样一步步构造宇宙学距离阶梯,一张越来越精确的哈勃图被描绘了出来,得到的哈勃常数的精度也越来越高。现在的结果是H_0=72\pm3(statistical)\pm7(systematic)kms^{-1}Mpc^{-1},即使算上那么大的系统误差也已经达到了当时的预期。

FIG3. 用不同测距方法得到的哈勃图,下图为残差

 

其他测量哈勃常数的方法

除了通过一步步构造距离阶梯来测量天体的距离点出哈勃图以外,还有各式各样充满想象力的方法来测量哈勃常数

引力透镜时间延迟

引力透镜最近那么火热,相信大家一定有所耳闻。在一个光学变源(比如类星体)和观测者之间存在一个星系团的话,变源可能会有多个像,而不同的像的时间延迟与H_0成反比。不过这个方法有一个局限性就是要对中间的星系团质量分布有一个比较好的了解,要同时对暗能量和物质的分布有一个合理的预言,否则星系团的质量分布会影响哈勃常数的取值。

Sunyaev-Zel’dovich效应

SZ效应描述了低能光子碰到高能电子后发生的逆康普顿散射。宇宙微波背景辐射提供了大量的低能光子。当这个背景光子遇到了星系团中的热电子时,这一现象就会发生,进而导致测量到的CMB的温度改变。这个值非常小,只有1mK,而且不随距离变化,但是由于SZ效应的形式与黑体辐射有一定的差异,通过不同波段的对比就可以分辨出来。同时,X射线的流量又是和距离相关的,两相对比就可以得出哈勃常数。这个方法的好处是可以适用于距离非常大的天体,不过由于以上的分析基于一些简化的假设,实际的星系团的情况也许会比较复杂,这一可能性降低了这种方法的可信度。

微波背景辐射的各向异性

微波背景的一个特性就是高度的各向同性,但是在这么均匀的外表下还隐藏着非常小的各向异性。通过角度功率谱,CMB的各向异性提供了宇宙学参数的信息,可惜的是这个方法中各个参数是掺杂在一起的。尽管如此,WMAP7年的数据也能给各个宇宙学参数很好的限制。同时,重子声波震荡(BAO)指出两点相关函数在100h^{-1}Mpc尺度上有一个峰值。此外,BAO也有助于打破哈勃常数和其他宇宙学参数在CMB各向异性中的简并。

为什么要越来越精确地测定哈勃常数?

哈勃常数不仅给出了宇宙学尺度的距离和时间,同时它的精确测量还可以提高其他宇宙学参数的精度。在下个十年中,可以预见到的几个神器级别的卫星的上天将会给出难以想象的精确的哈勃常数,接下来的故事,将会更精彩,而这样的精彩,等待着你的参与。

首先,到现在为止,哈勃常数与暗能量的状态函数是高度简并的,提高哈勃常数的精度,可以反过来限制暗能量的状态方程。

其次,高精度的哈勃常数可以对CMB各向异性得到的中微子质量给出很好的限制。现在的限制已经快接近中微子震荡实验给出的限制了,未来的观测必将进一步给出更高的限制。

TAB1.不同时期哈勃常数的系统误差具体来源来源

未来的提升空间

未来十年,随着一批神器的上天,哈勃常数的测量必将翻开一个崭新的篇章,下面列举几个大的提升方向
1.用spitzer和GAIA对中红外波段对河内造父变星进行三角视差测定
2.用spitzer和GAIA对中红外波段对银河系和邻近星系造父变星进行校准,同时校准TF关系
3.增加脉泽星系的源
4.增加引力透镜和SZ效应的星系团样本,并且对其有更好的了解
5.用Planck对CMB角功率谱有更高频率更高灵敏度和更高角分辨率的观测
6.在不同红移处测量BAO
7.2020年后,通过空间激光干涉阵(LISA)探测大质量黑洞的并合,通过对应天体的电磁波段观测得到红移。这种方法可以得到哈勃常数1%误差的测量。

结束语

对哈勃常数的测定关系到宇宙学参数的确定有着重大的意义。为此,各种不同的测距方法都被提出,并在天文学家的努力下不断校准,缩小误差。新的测距手段的使用给出了独立的校验手段,与之前的结果吻合度很高。现阶段的测量已经超额完成了原计划的10%的任务,随着下一代仪器的建造和使用,不难想象会出现更高精度的测量,以及更精确的宇宙学模型。让我们拭目以待吧!

延伸阅读

1.3%精度的哈勃常数测定

2.今天新鲜出炉的文章Carnegie哈勃项目

3.更早的一篇同名综述

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44 Replies to “哈勃常数”

  1. Han

    Chrome 13.0.782.220 Windows XP

    问一下关于那个公式的问题,暗物质和暗能量的区别在哪里,为什么第一项是所有物质的贡献,而第二项仅仅是暗能量?

    • 明月稀星

      Chrome 14.0.835.186 Windows 7

      暗物质和暗能量在这里没关系。暗物质的热力学的equation of state我们是按照跟matter一样来算的。这样代入Friedmann方程,得到对hubble方程的贡献是a^{-3}。
      暗能量我们假设EoS是w,也就是说p=w\rho,如果这里w跟scale factor a没关系的。这样代入Friedmann方程,可以得到在Hubble方程的贡献是a^{-3(1+w)}。(其实,任何不随时间变化的物态方程都可以表达成这样。)

      上面说的EoS在宇宙的不同时间是一样的情况,如果EoS是跟a相关的,那么得到的就不是这种形式了。这个很简单,只要重新带回到Friedmann方程就可以了。举个例子,比如我们使用CPL参数化的Dark energy,比如说w=w_0+w_a(1-a),这样代入到Friedmann方程,可以得到Hubble equation为:
      \frac{H}{H_0}=\sqrt{\Omega _{\text{m0}}a^{-3}+\Omega _{\text{r0}}a^{-4}+\Omega _{\text{de}}a^{-3(1+w_0+w_a)}e^{-3 w_a (1-a)}}

    • yimingleon

      Unknown Linux

      简单地说,前面一项导致宇宙有收缩的趋势,而后面一项导致了宇宙有膨胀的趋势。正是后面一项的存在才让宇宙加速膨胀有了发生的可能

      • Han

        Chrome 13.0.782.220 Windows XP

        谢谢,这样解释比较能理解一点,上面那位的我基本上没有看懂,不好意思恕余愚钝,但是也十分感谢。大二的物理什么都没有教,我自己才刚刚开始看朗道,一切对于我来说还都是未知。。。。

          • Han

            Chrome 13.0.782.220 Windows XP

            啊,没关系,其实这个网站我几乎每一篇都看不惯懂不懂,并不是凑热闹,只是我希望自己能够对自己未来要从事的专业有一个熟悉。只知道自己想搞天文,但是亚分类繁多,所以要先熟悉一下,而且这样总能知道自己不知道的东西,看一篇文章维基百科几十次,也是不错的感觉!

          • Han

            Chrome 13.0.782.220 Windows XP

            这个。。不是说了,是“本科生和研究生共同维护的天文网站”么,写文章的时候大概隔个四五篇,能够稍微稍微照顾一下我们这类读者就好了,向我们这种弄个天体力学的轨道方程出来还要先推导一下的人,还是需要一点稍微浅显的知识的。谢谢啦!btw最近http://arxiv.org/abs/1109.1614,这篇感觉挺好玩的~学长帮忙看看好么?

  2. skydreamer

    Firefox 3.6.18 Ubuntu 10.04

    有个问题,通过测距来定哈勃常数应该要事先假定一个宇宙学模型,那么这样得到的H0就是模型相关了,这可靠么?

      • skydreamer

        Firefox 3.6.18 Ubuntu 10.04

        我不清楚用来测定H0的距离探针是不是都是很低红移的(i.e. z<0.1),如果高于0.2就要考虑宇宙学参数的影响了,就像红移巡天,即使在z=0.35处他们也考虑了不同宇宙学模型对功率谱的修正,当然修正并不大,不过他们还是做了修正以期结果是unbias.

        • yimingleon

          Chromium 14.0.835.186 Linux

          可以看FIG3,注意最远的距离是400Mpc,对应的红移也就是0.1左右,而且去掉这个最远的超新星以后就更小了。可见宇宙学模型对于哈勃常数的影响确实是比较小的。事实上,由于距离远的天体会受精度和宇宙学模型的影响,如果只是测量哈勃常数的话会排除的。

          • skydreamer

            Firefox 3.6.18 Ubuntu 10.04

            没错,其实对于H0,因为他本身就是z=0处的Hubble parameter,只需在local universe里测量,没必要测量更高红移的地方,低红移处的测量足以把H0定的很精确了。和暗能量的测量是两码事,我给搞混了。。。

  3. 快乐中微子

    Firefox 6.0.2 Windows 7

    不知道理解的对不对: 用距离测定 H_{0}就是先测距离d(光度距离?),再测红移z,然后利用cz=H_{0}d 吗?

    坐等作者下一篇如何用引力波确定到1%的文章。

  4. 快乐中微子

    Firefox 6.0.2 Windows 7

    什么时候观测或者理论能把白矮星质量限制在1.40周围,而不可能是 1.35,或是1.45。那个时候才是谈10%精度以上宇宙学参数的时刻?

  5. 快乐中微子

    Firefox 6.0.2 Windows 7

    我有一个纯蛋疼的问题,FIG3. 用不同测距方法得到的哈勃图,下图为残差。 很多测量估计值及其误差都完全不重合(即使是同一种测量方法,并且很多点的误差都很小!)。从纯粹统计观点来说,如果我相信一个测量,那么其他不被它误差棒覆盖的区域至少69%的不可能。那么我该相信哪个(些)点呢?为什么取这些点的平均值最作为我最后的估计值呢?

    • yimingleon

      Chromium 14.0.835.186 Linux

      不是特别懂你的意思,不过测量次数增加可以减小误差这个是统计学的一个很重要的结论吧。另外,竖线前面是在hubble flow里面,这个结果还受星系本动的影响

      • 快乐中微子

        Firefox 6.0.2 Windows 7

        举个夸张的例子,比赛测量美女年龄。我们两个看到同一个美女,我目测说她的年龄在在70岁到80岁之间,你和她谈了谈话,确定她的年龄在10到20之间。然后我们报告出一个结论,此美女的年龄在45岁左右。 后来第三方独立偷看身份证的结果是46. 最后表彰大会上我们都获奖了。

        • yimingleon

          Chromium 14.0.835.186 Linux

          这个是似然函数最大化的结果吧,
          如果偏向任何一个结果,另外一个独立测量的似然函数就会很快下降,导致变小。当然,前提是两个测量都没有太大的系统误差,并且是独立的测量

          • 快乐中微子

            Firefox 6.0.2 Windows 7

            虽然我是个鉴定坚定的贝叶斯主义者,但是我完全尊重使用最大似然法的人所坚信的哲学观》我们看到的就是上帝最想展现的.. 问题如你所说,我们怎么确保没有系统误差,因为哈勃常数不是直接测量。很明显我说的那个例子,我们两人的估计都是扯淡,但是对于FIG3. 用不同测距方法得到的哈勃图,下图为残差。 里面的那些点,我们是不是应该剔除一些?剔除那些?剔除后会影响最后的结果吗?

  6. Song Huang

    Chromium 14.0.835.186 Linux

    果然还是宇宙学热门啊,没办法,这篇综述的作者有幸见过,也听过他们关于新的项目的报告,确实值得期待,虽然整个项目的成功与否依赖于JWST吧

    “小红移”最好要加个范围,真的很小的话,宇宙学模型虽然不是很关键,但peculiar velocity就该要仔细的考虑了

    另外,看上面回复中出现了白矮星质量?那个,白矮星质量为什么是1.4了?银河系里面白矮星质量的分布能给出观测上的限制,median值是0.6太阳质量吧,这个似乎没有太大的争议,争的是如何超过Chandra极限

  7. yuanshuo

    Chrome 6.0.472.33 Windows XP

    求教一个问题:哈勃定律是否可以这样理解:cz=H(z)*r(z),这样就可以设法找到H(z)了。这里r(z)
    是星系发出光子时的物理距离。

    • yimingleon

      Firefox 3.6.23 Ubuntu 10.04

      approximately you could try to understand like this, but it’s not accurate. Actually, H(z) could be expressed as an expression of \Omega_m, \Omega_\Lambda and H_0, and in the range that interested, z is small and the deviation from H_0 is small.
      Sorry I’ve got no Chinese input in lab.

        • yuanshuo

          Chrome 6.0.472.33 Windows XP

          那么Z较大时候呢?cz=H(z)*r(z)如何修正?
          我想利用最新的SNIa数据,尝试使用V(z)=H(z)*r(z)来获得形如OHD的数据,即{z,H(z),\sigm}的三联组数据,再使用“H^2关系”来限制模型。。。这只是初步的idea,不知道往下怎么继续。。。

          • Lei Hou

            Firefox 4.0 Linux

            那就要看你需要用的是哪种距离:固有距离、光度距离、角距离。
            固有距离:,其中


            ,其中

            角距离D_A=a_0r/(1+z),光度距离D_L=a_0r(1+z)
            详细的还是去看任何一本宇宙学教材吧

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