浅谈数值相对论

(本文材料基于Astrophysics Science Division,NASA’s Goddard Space Flight Center的Joan Centrella博士的幻灯片。我其实对数值相对论了解不深,Joan的报告非常精彩,深入简出地探讨了为什么需要数值相对论、数值相对论的困难、历史 和现状。非常可惜的是,Joan的报告的很多出彩的地方并没有用书面的形式写在ppt上,所以我只能尽力回忆,尽力减少错误。如果有朋友比较了解这一领 域,欢迎提出修改意见。)

引力波的背景介绍

至今为止,绝大部分的天文学观测都是基于电磁波携带的信息,从伽马射线一直到 射电波段,几乎每一个可能的波段都被天文学家压榨着。但是光子并非是唯一携带信息的粒子,中微子以及引力波都可以用作天文观测用途,并且大有前途。所谓引 力波,是爱因斯坦广义相对论的自然推广,其实只要是承认引力作用的有限速度,就必然会导出引力波(astroleaks上对引力波有一些综述,比如这篇)。然而,由于引力常数相比真空介电系数小好几个数量级,导致引力波的测量异常困难,甚至在爱因斯坦推导得出引力波后认为它太弱而不可能被测量到。(这个弱是指引力波振幅太小,双黑洞并合包含的能量比伽玛暴还要高一个量级,而伽玛暴会比整个宇宙都亮)

不过,爱因斯坦也不是第一次错了。PSR1913+16给 出了引力波确实存在的间接证据;而以激光干涉仪为代表的引力波探测灵敏度在一步步提高,如今世上最好的探测器LIGO的预期探测率为10年一次事件, 而当正在进行的升级完成后,这一数值将变成每年数十次。同时,中子星和黑洞这样的致密星以及相关的天文观测表明宇宙中确实会存在强烈的引力波源。我们观测 到恒星级黑洞,星系中心的大质量黑洞,并且有理由相信伽马射线暴与恒星质量致密天体的并合息息相关,同时星系的并合过程在理论上也会导致中心黑洞的并合, 在观测上也有证据表明大质量双黑洞的存在。引力波的缺点是它很难和物质作用,但是这同时也是它的优点。致密天体中心的结构是没有方法通过电磁波手段观测的,而对于引力波,则是近乎透明的,通过引力波和电磁波的协同观测,可以获得异常丰富的信息。

致密双星并合是最有希望的引力波源,也是理论上理解的最细致的。因此引力波探测的很大一部分努力都集中在这类事件的探测上。

前文也提到引力波的信号异常微弱,所以引力波数据的处理也异于普通天文信号的处理。信噪比大于30的信号基本上是不敢奢望的,怎样从如此嘈杂的信号中获得精确的参数?对于双致密星合并,给定他们的几个基本参数,从理论上说就可以解出其对应的引力波波形,使用匹配滤波(matched filter)的 方法就可以找出信噪比最高的波形,将其视为信号所对应的波形。问题在于,如何计算这个波形?如果两个天体相距甚远,使用后牛顿近似还可以快速地获得波形, 然而当引力波辐射掉角动量和能量而使两天体距离极近时,忽略高阶后牛顿项就不能给出准确的波形。两个天体合并成一个黑洞之后的铃荡(ringdown)过 程可以通过微扰法解出,但是这样的微扰在并合时同样会失效。只有并合过程是最复杂,偏偏又是强度最高,信息最丰富的。引力波信号的处理需要一个波形库,而 近似的解析方法在并合时都失效,于是只能转而求助于数值计算——对数值相对论的需求呼之欲出。

数值相对论:40多年的求索

其 实,最早的数值相对论的尝试可以追溯到60年代,两个大牛就为了好玩搞了个小程序模拟双虫洞,用了一堆近似,结果程序死了,他们发了篇paper,说了说 程序的死状,然后就拍拍屁股走人了。可是程序崩溃的梦魇却从此一直困扰这数值相对论界。两个黑洞,放在那里,别说要他们并合,就是让他们走两步,程序都会 崩溃。后来研究者才发现,原来爱因斯坦场方程存在着大量非物理的形式解,这些解往往会导致指数增长,最终程序崩溃。于是程序在每次碰到这些非物理解时,就 会先杀掉他们,然后在顺着物理解走。虽然程序最后还是会崩溃,不过总算是一个进步,黑洞终于可以走上10个史瓦西半径了,不过离走完一圈依然显得遥遥无 期。

等质量双黑洞并合产生的引力波。

一 般的数值模拟,大体的思路就是给出初边条件,给出方程组,然后跑去吧。可是数值相对论就麻烦多了,因为爱因斯坦说了,时间和空间是一个整体,特别是在强引 力场下,时空更显得紊乱,怎么去寻求信号的时空演化?——数值相对论的专家于是使用3+1的方法,把时空分割成3维“空间切片”和1维“时间”。

形象地显示3+1方法

慢着,黑洞的存在会导致坐标被吸到视界中,什么都做不了了,怎么办?——好,每次算一步都要重新画一下坐标。

说到初边条件,怎么确定?要让时空满足爱因斯坦方程——老实说,这到现在还是一个问题,只能慢慢找,不能解析地给出来。

好了,我们来求解吧,17个方程,~150个变量,耦合的非线性偏微分方程,必须保证解的稳定性……

等一下,数值相对论的目的是算引力波波形,可是规范的选择存在4个自由度,如何知道这个波的存在是由于规范变化引起还是确实是物理的能量变化?

这 么一堆难题,难怪40多年来,数值相对论进展甚微。巨大的困难也吓跑了不少人,据说全世界敢自称是数值相对论专家的,只有35个人。当2004年第一次有 人让双黑洞绕完一圈时已经是欢天喜地的突破性进展了。可是当绕完一圈,坐标开始纠结,不稳定性又一次出现,程序又一次崩溃……

三个不同小组得到的波形,其中两个几乎完全相同,而另一个稍有不同,但他们的黑洞引入了微小的自旋,而且其结果同ringdown的定性结果吻合

难 道没有别的办法么?2005年,一次调程序的手误,让Joan的黑洞“动”了起来。因为黑洞中心的起点在数值计算时很不好处理,一般都是用穿刺法,即用已 知黑洞解来替代黑洞,从而规避了奇点。而在之前的计算中,黑洞都是被按在网格上的,这次调试的无心插柳,竟然让两个黑洞欢快地演化下去,一直到并合结束, 程序都没有再崩溃!之后的会议上,他们的结果一度受到人们的质疑,直到UT  Brownsville的研究组在同一个会议上公布了他们用同样的方法得到的独立结果时,才让人们严肃对待起来。回去以后他们也这么做了,他们的程序也欢 快地跑起来了。

当程序的稳定性不再是绊脚石以后,程序的精确性就成了新的要求,不同组的程序都是独立完成的,而他们给出的结果吻合度之高, 让人们对其充满信心。一些新的课题也顺利展开,比如两个黑洞初始位置改变会影响波形么?不同方向,不同大小的自旋对结果有什么影响?黑洞并合后,反冲的大 小和方向是如何的?此外,如何调和双致密天体并合过程的三个阶段的波形也是一个大问题。內旋(inspiral)过程使用后牛顿近似,并合 (merger)是数值相对论,而铃荡(ringdown)则是微扰法,三个阶段,三个不同的方法,如何将信号平滑地拼合在一起形成一个完整的模板库依然 是一个大问题。

如今的数值相对论自从2005年的奇迹之后突飞猛进,越来越多的人关注起来,现在的代码效率比05年又高了一个量级,这是一个快速发展的领域,值得大家关注。

总结

数 值相对论同其他数值模拟问题一样,由于非线性偏微分方程而无法解析求解,而且更甚:方程更多,变量更多,变量的耦合,等等。同时,数值相对论有其独特之 处,首先存在大量非物理解会导致程序崩溃,其次,数值相对论要面对的是物理量随时间的演化,时间和空间纠缠在一块;想要研究物理量随空间分布,坐标系会不 断被黑洞吞噬。数值相对论的难度可想而知,而这个领域的学者取得如此成就实为不易。

附:两个不错的中文介绍

http://songshuhui.net/archives/18241

http://amssshangyu.blog.163.com/blog/static/12266483320104955114204/

注:未附特别说明,版权均属于NASA

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