修改引力理论简介

四十多年前,人们很惊讶的发现很多漩涡星系的旋转曲线并不遵循牛顿的引力定律,星系外围的恒星的速度变得跟其与星系中心的距离无关[1]。在星系尺度上,是什么提供了额外的引力效应?
十年前,人们通过超新星标准烛光的测量,得知宇宙的膨胀在加速。是什么在抵抗引力,或者,是什么削弱了引力效应?

自1916年 Albert Einstein 提出了广义相对论(GR),甚至在很快被实验验证之后,人们仍然在思考,广义相对论真的是无懈可击的么?后来有人提出的 Kaluza-Klein 理论,scalar-tensor 理论以及 Brans-Dicke 理论等,尝试为 GR 所不能为之事。

再后来宇宙学迅猛发展,一个常常用来作为标杆的模型—— LCDM 模型建立起来。LCDM 基本是在 GR 基础上发展起来的。人们在宇宙学原理基础上使用 GR,并且出于多种原因(星系旋转曲线,物质演化,加速膨胀等),引入了暗物质和宇宙学常数(暗能量),以此来作为我们的宇宙的一个近似描述。在很多方面这个模型非常成功,看起来,剩下的只是引入合适的物质来对模型修修补补的事情了。

果真如此么?

第一部分 为什么要修改引力

LCDM 模型中,有两个地方让我们摸不着头脑,一个是冷暗物质(CDM),另一个是宇宙学常数\Lambda. 我们并不能直接看到 CDM,CDM是什么我们还不清楚。至于宇宙学常数,更是离奇。如果我们认为这是 QFT 所给出的零点能,那么理论预测和观测结果相差120个数量级;如果我们认为这是暗能量,那么这种暗能量的物态方程方程为 -1,正的能量密度提供负压强。这两点都非常怪异。

那么我们可以不引入暗物质和暗能量么?

对于暗物质,我们确实有很好的理由来引入,但是它真的是必需的么?

我们可以使用中学生就可以很好的理解的方式来重新考察一下星系旋转曲线。当我们发现了星系的旋转曲线的异常行为,我们可以认为有我们看不见的物质提供了额外的引力,或者,我们也可以重新考虑我们所使用的引力理论。这种旋转曲线这种情况下,牛顿的引力理论应当是一个合理的近似,( a 为加速度,M 为中心质量,m 为绕中心旋转的恒星的质量,G 为引力常数, r 为恒星与中心的距离)

(1)   \begin{equation*} m a = -G \frac{mM}{r^2} \end{equation*}

为了跟星系的旋转曲线符合,那么我们想要当 r 很大的时候,加速度趋向于一个跟 r 成反比的式子,这样就可以保证恒星的旋转速度 v=\sqrt{r a} 是一个常数。那么我们可以引入一个函数\mu(a/a_0),使得

(2)   \begin{equation*} m\cdot a \cdot \mu(\frac{a}{a_0}) = -G \frac{mM}{r^2} \end{equation*}

其中 \mu(a/a_0) 满足当 r 很大时,\mu(a/a_0) 趋于 a/a_0,如此一来,正好保证了恒星的速度

(3)   \begin{equation*} v=\left( G M a_0 \right)^{1/4} \end{equation*}

使用合适的参数,总可以得到一个合适的 \mu(a/a_0) 函数。

这是一个很好的例子,虽然是非常幼稚的模型,它甚至不能解释Bullet cluster,但这在一定程度上给了我们一点曙光:我们可能并不是只能不断的向宇宙中引入奇奇怪怪(“看不见”,奇怪的物态方程等)的物质,相反,我们有希望保留我们对物质结构的理解,而对引力理论进行修正。何况,在宇宙尺度上,我们并没有一个很严格的实验来完美的验证 GR,那么修改 GR,就理应是一个值得尝试的方向。

作为一个更好的例子,我们用类似的逻辑来看一下暗能量。

我们先看一下 LCDM 的作用量。

(4)   \begin{equation*} S=\frac{1}{2\kappa^2}\int R \sqrt{-g}\mathrm d^4x+\int (\mathcal L_m -\frac{\Lambda}{\kappa^2})\sqrt{-g} \mathrm d^4x \end{equation*}

现在假设我们没有暗能量,在这个简单的模型中,也就是作用量的物质项中没有宇宙学常数 \Lambda。要解释宇宙的加速膨胀,我们就只需要将 \Lambda 项放到时空背景部分即可。:)

(5)   \begin{equation*} S=\frac{1}{2\kappa^2}\int (R-2\Lambda) \sqrt{-g}\mathrm d^4x+\int \sqrt{-g}\mathcal L_m \mathrm d^4x \end{equation*}

当然,这是个玩笑。虽然这确实是一种最最最简单的修改引力的方式,但是实际上并没有提供很多的帮助。下面我们可以来看一下比较流行的 f(R) 引力理论的情况。f(R) 引力是说,我们可以把 GR 中的标量曲率 R 换做 R 的函数,即

(6)   \begin{equation*} S=\frac{1}{2\kappa^2}\int f(R) \sqrt{-g}\mathrm d^4x+\int \sqrt{-g} \mathcal L_m \mathrm d^4x \end{equation*}

取合适的 f(R) 形式我们可以很自然的在没有宇宙学常数帮助的情况下,得到宇宙加速膨胀的结论。那么什么叫做合适的形式呢?f(R) 理论有很多的限制,不详细提及,不过有一点,要解释加速膨胀,这一项在当今的值需要为负,这样才能像 LCDM 模型一样,提供一个加速膨胀的效果。比如,我们可以取 f(R) 为

(7)   \begin{equation*} f(R)=-m^2\frac{c_1(R/m^2)}{c_2 (R/m^2)+1} \end{equation*}

其中 c_1, c_2, m^2 为正[2]。这个函数有个特点,就是总是为负,也就是起到了 LCDM 模型里面 -2\Lambda 的作用,当 R 很大的时候,f(R) 就退化为一个常数,这个常数就等价于 LCDM 中的 -2\Lambda

很好,这样一个没有暗能量的模型就可以建立起来了,代价是,Einstein 的 GR 被修改了。当然 GR 依然在其适用范围内与这样一个修改引力理论的模型吻合。

总结一下上面两个例子:既然我们并没有真正的在宇宙学的尺度上检验过 Einstein 的 GR,当我们在宇宙学中遇到了很多困难的时候,我们可以创建一些新的引力理论来解释一些现象,这样修改引力给我们提供了一个理解宇宙的新的可能性。

第二部分 如何修改引力

那么,如果我们要构建一个新的引力的理论,这个理论看起来应该是什么样的呢?或者如何知道这个理论是否合适?

这是一个非常难以回答的问题,新理论可能引入了高阶导数项,可能引入了更高的维度,可能的情况很多。但是,至少从渐进的角度我们知道,这个新的引力理论必须满足以下两个极端近似:

  • 高物质密度的地方,新理论必须渐进接近 GR。

原因之一就是为了满足太阳系的限制,因为 GR 在太阳系内是一个很好的理论。

  • 低物质密度的区域,新理论能够产生“第五种力”,用来得到加速膨胀的宇宙。

这主要为了配合超新星的观测数据。

这样,就需要有一个”screening mechanism”,即必须有一个机制把第五种力屏蔽在高物质密度区域之外。[3]这是我们可以修改引力的一个关键所在。至于具体细节,此处只得略去。

另外,我们物理上要求一个物理的场要能量正定,并且质量为实数,也就是说,修改引力,需要避开 Ghost 和 tachyon.

原则上来说,修改引力往往触及到更深刻的物理。对引力理论的修改,很可能会涉及到很多很基本的原理,例如引力质量与惯性质量是否相等,马赫原理是否正确,参考系的是否是物理的等等。这样的问题往往是争论最激烈的地方。关于如此等等,这里也都略去。

假设我们现在根据这样的条件,构建了一个新的引力理论,那么如果想要确认其是否合适,除了要理论上要自洽,还要经过观测的考验:SN, CMB, Matter, ISW, Lensing等. 因为修改后的引力理论会影响宇宙背景的演化,我们上面提到的那个 f(R) 的具体例子就是如此——它在宇宙演化的晚期会产生于 LCDM 不同的“第五种力”。同样,修改引力也会导致对扰动的变化,比如加速膨胀的速率变化之后,必然导致物质的演化不同,最终导致物质的功率谱不同。

第三部分 有哪些修改引力理论

目前已经有很多的修改引力理论。其中比较有名的有
Brans-Dicke, Scalar-tensor, f(R), DGP, Galileon, Gauss-Bonnet, R/2+f(G)等, 甚至有些Lorentz violating的理论。

这些理论大都比较复杂,甚至复杂到找到一个符合观测的模型也不太容易。这里面做的比较多的是 f(R) 理论,该理论仅仅产生了4类(或5类)可能是符合观测的具体模型,由此可见,修改引力之后,要找到合适的模型的挑战是非常大的。

第四部分 总结

作为总结,我绘制了一张 mind map. 希望各位在读完这篇文章之后有所收获。


(若无法阅读,请点击此处查看大图,或者点击ModifyingGravity来获得Mindmanager源文件,你可以在此基础上自己完善这张 mind map。)


[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Galaxy_rotation_curves | (Back)

[2] arXiv:0705.1158
关于 f(R) 的一点点额外的介绍,也可以读我以前的科普文。 | (Back)

[3] 两个比较好的例子是 Vainshtein mechanism和 Chameleon mechanism。前者考虑标量场的自相互作用,后者考虑标量场和周围物质的耦合。| (Back)

[4] 本文参考了 Kazuya Koyama 的几份 lecture notes,可以在这里看到一个合集。

[5] arXiv:1106.2476是一篇很好的修改引力和宇宙学的 review 文章。

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6 Replies to “修改引力理论简介”

  1. lA.Z

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    现在除了f(R)理论更是有f(T)理论。

    虽然在广义相对论里面R和T的位置是大体相似的。
    但是我们总是默认宇宙是只有曲率而没有挠率的。这其实是不太自然的一件事儿

    于是若干理论家把挠率引入场方程来作为一种修改引力的方式

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